אַ פֿונקציע (שוואַרץ) מיט זײַן באַריר־לינע (רויט). דער באַרגנייג פֿון דער באַריר־לינע איז דער דעריוואַטיוו.
אַ דעריוואַטיוו (דעריוואַט) פֿון אַ פֿונקציע איז דער באַרגנייג אויף דער באַריר־ליניע בײַ א פֿונקט. א דעריוואַטיוו באַשרײַבט די וואַקסיקייט פון אַ פֿונקציע. דער היפּוך פֿון א דעריוואַטיוו איז אַן אינטעגראל. דער דעריוואַטיוו ווערט געפֿונען געוויינטלעך אין מאַטעמאַטיק און פֿיזיק.
אין פֿיזיק, דער דעריוואַטיוו פֿון פּאָזיציע איז גיכקייט, און דער דעריוואַטיוו פֿון גיכקייט איז פֿאַרגיכערונג.
א שנײַדליניע ווערט א באַריר־ליניע ווען
.
דערמאַנט זיך אַז די פֿונקציע פאַר אַ גראָדער ליניע איז
. דער וואַריאבל
איז דער באַרגנייג פון דער לינע, ד"ה ווען
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {y(x_{2})-y(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\\&={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f6109bcebf80647a1b4204cd2b7fe4ee0c76aa)
דעריבער א שנײַדלינע (secant) וואָס שנײַדט זיך איבער א פֿונקצע
בײַ
און
האָט דעם באַרגנייג
![{\displaystyle {\begin{aligned}a(x_{1},x_{2})&={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb3b3dabb7c028287f2ad9436a0d0875e09ead5)
ווען
זענעך נאָענט איז
בערך דער באַרגנייג אויף דער באַריר־לינע. באַניצנדיק קאַלקולוס קענען מיר ניצן א גרעניץ כּדי גורם זײַן
. בכן איז
אַן איינבאַטרעפֿיקע פֿונקציע. מ'רופֿט
דעם דעריוואַטיוו פֿון
.
דער דעריוואַטיוו ווערט אָנגעשריבן אין מאַטעמאַטישער נאָטאַציע ווי
צי
. טאָ מע שרײַבט:
![{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{x_{2}\to x}{\frac {f(x)-f(x_{2})}{x-x_{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f55416322f179cf1287137e48de78c862926ca4a)
די לעצטע שורה ניצט דעם אונטערשטעל
.
פאַראַן כּלערליי כּללים וואָס העלפֿן אונדז צו געפֿינען דעם דעריוואַטיוו.
אויב מיר ווילן דיפֿערענצירן א פֿונקציע מאָל אַ שטענדיקע גרייס:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(cf(x))=cf'(x)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc159ea55a51e50e33ed409e03c234322d2f9cf6)
אויב מיר ווילן דיפֿערענצירן א פֿונקציע פּלוס אַ פֿונקציע ניצט מען דעם סך־הכּל־כּלל:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left(f(x)+g(x)\right)=f'(x)+g'(x)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45110c151f9c7384a9f7da3112dedea56d787292)
אויב מיר ווילן דיפערענצירן א פֿונקציע פֿון א פֿונקציע ניצט מען דעם קייט־כּלל:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8762f4059c6ace1acaed984e1896049714df8ed)
אויב מיר ווילן דיפערענצירן אַ פראָדוקט פֿון צוויי פֿונקציעס ניצט מען דעם פּראָדוקט־כּלל:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}f(x)g(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dadba886a171fca0304a04f22bd635eb025049d)
בדרך משל לאָמיר דיפערענצירן א פראָסטע פֿונקציע
(קוואַדראַטישע פֿונקציע) ניצנדיק דער דעפֿיניציע
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}x^{2}&=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h}}\\\ &=\lim _{h\to 0}{\frac {(x^{2}+2xh+h^{2})-x^{2}}{h}}\\\ &=\lim _{h\to 0}{\frac {2xh+h^{2}}{h}}\\\ &=\lim _{h\to 0}(2x+h)\\\ &=2x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b249f357fab13f01da62fd22a90e39fc84e3ad91)
אָדער זינט
(זעט „דעפֿיניציע“ אין דער הייך), פּראָדוקט־כּלל באַווייזט
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}x^{2}&={\frac {d}{dx}}(x\cdot x)\\\ &=\left({\frac {d}{dx}}x\right)x+x\left({\frac {d}{dx}}x\right)\\\ &=(1)x+x(1)\\\ &=2x\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd45faf4ee1882cc88ef1c5d2df8a58ca682555a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}{\sqrt {x}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {{\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}}}{h}}\\\ &=\lim _{h\to 0}\left({\frac {{\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}}}{h}}\cdot {\frac {{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}}}\right)\\\ &=\lim _{h\to 0}{\frac {x+h-x}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}\\\ &=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}}}\\\ &={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/733e9f914dd22e898dd7813a9a987a5e2e990762)